A,結論

Updateで timer += Time.deltaTime; と加算します。

これはTime.timeScaleの影響を受けるゲーム内時間です。一時停止中も進む経過時間ならTime.unscaledDeltaTimeなどを使います。アプリ終了後も引き継ぐ時刻の管理とは別です。

サンプルコード

using UnityEngine;

public class TimerExample : MonoBehaviour
{
    public float ElapsedTime { get; private set; }

    private void Update()
    {
        ElapsedTime += Time.deltaTime;
    }

    public void ResetTimer()
    {
        ElapsedTime = 0f;
    }
}

※ 実機確認が必要な項目は、Editor だけで判断せず、対象デバイスでも必ず動作確認してください。